Het vierster-zeshoekpatroon

Twaalf verschillende reconstructies van één patroon

Het tableau aan de onderzijde, omkaderd met een groene rechthoek  is opgebouwd uit twee elementen: een vierpuntige ster en een zeshoek.

Het patroon is op veel manieren te reconstrueren, ik laat hier alle methodes zien, om te beginnen een paar makkelijke manieren met vouwblaadjes, daarna de serieuzere manieren. tot slot laat ik varianten zien en verbanden met andere patronen.

Wat blijkt is, dat je enorm veel kunt leren van de studie van één enkel, eenvoudig patroon.

 

Foto Manuel Martínez Vela,

uit het Alcázar, Sevilla

Foto Paul Barchilon
Foto Paul Barchilon

Dit is een detail van een metalen deur met deurknop uit het Mezquita, Cordaba waarop hetzelfde patroon te zien is.

Foto Paul Barchilon.

De decoratie van het patroon heeft een schildvorm met daarin een kruis. Bewijs dat het is gemaakt nadat het Kalifaat van Córdoba rond 1035 was uiteengevallen en het gebied was veroverd door katholieke Spanjaarden

1 De zeshoek maken met een vierkant vouwblaadje

2 De ster maken met vier vierkante vouwblaadjes

Voer vier keer de eerste stap van methode 1 uit om de juiste stervorm te maken. Maak meerdere van deze sterren uit vier vliegervormen en stel hiermee het patroon samen.

 

3 De ster maken met één vierkant vouwblaadje

4 Een 'kleinste cel' vouwen met een vierkant vouwblaadje

Gebruik een vierkant vouwblaadje ABCD. Vouw alle grijze lijnen, begin met de twee diagonalen. De blauwe lijnen vormen het patroon.

Maak dus meerdere van deze kleinste cellen en leg ze tegen elkaar, bedenk dat de punten B en D viervoudige rotatiepunten van het patroon zijn en de punten A en C tweevoudige.

Een uitleg over waarom je hiermee het patroon kunt leggen vind je in het intermezzo hieronder

Dit is een vouwvoorbeeld, alle vouwen zijn gestippeld.
Dit is een vouwvoorbeeld, alle vouwen zijn gestippeld.

Intermezzo: Een analyse van het patroon

Foto Manuel Martínez Vela, detail van een deur in de Kathedraal van Sevilla
Foto Manuel Martínez Vela, detail van een deur in de Kathedraal van Sevilla

Op de bovenstaande foto zijn in blauw twee vierkanten aangegeven die samen een zogenaamde 'cel' vormen. Hiermee kun je het hele mozaïek als het ware stempelen.

Je kunt ook een kleinere vorm kiezen waarmee het hele patroon te stempelen is, bijvoorbeeld het rode vierkant.

Die is in de analysetekening hiernaast uitgelicht. Rotatiesymmetrieën zijn aangegeven, evenals spiegelsymmetrie met een streepjeslijn en lokale spiegelsymmetrieën met stippeltjeslijnen.

De gele pijlen hierboven geven de translatiesymmetrieën weer.Het witte pentagon in de foto hierboven is trouwens ook een kleinste cel

5 Een halve cel vouwen met een vierkant blaadje

Dit is een vouwinstructie waarbij je met de geodriehoek een scheef kruis vouwt om de constructie van de ster in één van de blauwe vierkanten van de foto hierboven te maken.

Kies een hoek van 22,5 graden om het patroon te reproduceren. Maar je kunt ook een andere hoek kiezen. Dan krijg je een patroon met stompere of scherpere sterpunten, zie de laatste drie foto's van de serie. Voor de samenstelling van het mozaïek heb je zowel de voorkant als de achterkant (de gespiegelde ster) van het vouwblaadje nodig.

6 Een andere kleinste cel (pentagon!) vouwen uit een A-4-tje

7 het patroon tekenen op ruitjespapier

Je kunt het patroon niet exact reconstrueren met ruitjespapier. Dat komt doordat de wortel uit het getal twee irrationeel is. De tekening links is wel aardig nauwkeurig. De benadering komt neer op een afronding van wortel twee op 1,4. De zijden van het rode vierkant in de vierpuntige ster staan bijna loodrecht op de diagonalen van de ster, maar niet exact.

In het rechter patroon zijn de sterren wel spiegelsymmetrisch, maar de sterpunten zijn niet 45 graden. Ik heb hier een zogenaamd Pythagorastriplet gebruikt (de 3-4-5-driehoek)

8 Een kleinste cel construeren met passer en liniaal

Teken eerst vierkant ABCD. Teken diagonaal AC. Trek de rode cirkel om punt E te vinden. Trek de groene cirkel met middelpunt E om F en G te vinden. Trek de oranje cirkels met middelpunten B en D om H en I te vinden.

9 Een andere kleinste cel construeren (pentagon)

Deze aanpak lijkt op methode 6, maar nu met passer en liniaal in plaats van met vouwen.

Trek een horizontale en verticale lijn, Gebruik het snijpunt als middelpunt van een grote cirkel (rood).

Construeer twee bissectrices en vervolgens nog eens twee.

Met de goudgele halve cirkels vind je twee hoekpunten, links en rechts van het goudgele pentagon. Dit is een kleinste cel van het patroon.

De blauwe lijnen zijn vervolgens makkelijk te construeren.

 

10 Een groter veld construeren met passer en liniaal

Deze constructie lijkt op methode 8, alleen maak je nu in één keer een groter veld van het patroon. Begin met een groot vierkant. De rest spreekt voor zich.

11 Het patroon afleiden uit een veld pentagons

De goudgele lijnen vormen een veld van acht kleinste cellen van het patroon dat is te construeren met behulp van de grijze lijnen en cirkels.

Vervolgens kunnen zonder veel moeite de blauwe zeshoeken worden ingetekend en zo ontstaat het patroon.

12 het patroon maken met behulp van golvende stroken

Als je een aantal van de bovenstaande golvende stroken maakt, dan kun je het patroon ook samenstellen. De kleine rondjes verwijzen naar een uitvoering van het mozaïek in Granada, zie de foto hieronder

Foto Manuel Martínez Vela
Foto Manuel Martínez Vela

Dit is een resultaat met blauwe en rode gevlochten golfstroken. Wat opvalt is, dat de stroken op de plek waar ze onder elkaar doorgaan ook een bocht maken.

Dat kun je zien als een makke van het patroon, in de meeste islamitische ontwerpen wordt dit vermeden.

Varianten van het patroon

Dit mozaïek uit het Alhambra heeft zeshoeken met kleine driehoekige uitstulpinkjes. Hierdoor worden de 'bochten' bij de 'kruispunten' vermeden, maar nadeel is weer dat de vierpuntige sterren, met afgeknotte punten, niet meer symmetrisch zijn.

 

Ik vond deze variant van het patroon, zowel links als rechts gaf ik de zeshoeken kleine huisjesvormige 'uitstulpinkjes'. Nu blijven de sterren wel spiegelsymmetrisch. Wanneer je beide patronen laat overlappen ontstaat een nieuw patroon met achtpuntige sterren (zie het midden van de tekening).

Met leerlingen van het Cosmicus College maakte ik in 2010 dit mozaïek met variërende sterpunthoeken. Verschillende leerlingen kozen verschillende hoeken bij methode 5. 

Recent Activities, News

Recensie van Snijpunt Isfahan

Lees hier

First prototype of new aperiodic puzzle

The developing process is continued. click here.

Ars et Mathesisdag 2019

During the art- and maths day (Ars et Mathesisdag), 24 november 2018, I gave a lecture about analyzing historical geometric patterns and trying to find new ones.

Timelapse construction

A great timelapse construction by Ameet Hindocha. More can be found on the website Ambigraph

Article online available

The journal For the Learning of Mathematics made my 2014 article 'Learning geometry by designing Persian mosaics' online available: See https://flm-journal.org/Articles/2E0CB6E94D76C79C2F341680D60F17.pdf

Een kritische recensie van Snijpunt Isfahan

Here you find my reflections on  a very critical review of Snijpunt Isfahan by a mathematician (in Dutch)

March 30 2018 Lecture

Lecture in Dutch

Two new 'floral'patterns

24 March 2018

Based upon the famous Alhambra pattern with circle segments. Click on the picture below to go there

14 feb 2018 Event about  'Snijpunt Isfahan' at Spui25

Look here

Interview by Dolf Jansen

Dolf Jansen interviewed Maite and me (in Dutch) during the radio program 'Spijkers met Koppen', to hear and watch the interview, klick here

Interview by Coen Verbraak

Coen Verbraak interviewed Maite and me about Maite's book 'Snijpunt Isfahan' (in Dutch), to hear and watch the interview, klick here

Official opening of Museum Gallery RAT (Recomposed Art Texel)

May 13 2017 we celebrated the opening of our new location Burgwal 20 Den Burg. Here you find artwork composed with beachcombed materials by Maria Roelofsen and my design studio for making new pattern compositions based upon the Islamic design tradition. For further information also look at www.museumgalerierat.nl

A new floral design with worksheet. Click on the picture to find more information about the Khatai Flower.

March 24th 2017

Heart cloud sun

Workshop in Amsterdam

21 august 2016 11.30-13.00

In the Tropenmuseum I delivered a workshop on the Islamic design tradition of geometric patterns in Dutch, further information here

New poem in Dutch:

Één Jaar

                                 May 6th 2016

Floral designs

A new subject is being developed and information will be available on this website: floral designs. I started today with the lotus flower. Click on the lotus below to visit the right tab.

                        24th of March 2016

Colour Plates available (not any more since the exhibition ended)

Download my puzzle-/colour plates at this link of the Tropenmuseum Junior 

Short story 'Spiral Figures'

I wrote a short story in Dutch about a child who draws spiral figures at the beach

Students finished newly developed lesson strand on Islamic mosaic design

Click on the picture below and check the two slide shows on the 2015 results. 

The workshop I delivered in 2014 is online since Jan. 2015

A miraculous set of tiles

I found a set of two tiles which can only form a semi-periodical pattern
I found a set of two tiles which can only form a semi-periodical pattern

Patchwork by Marijke Maris-Baan

Marijke Maris-Baan finished her design in patchwork, inspired by the winterworkshop held January 2014 on Texel
Marijke Maris-Baan finished her design in patchwork, inspired by the winterworkshop held January 2014 on Texel

Heptagon construction

A method to construct a near-regular heptagon now published on this site

Result of drawing competition

6 July 2014. The drawing cmpetition was won by José Bradamonte.

Students finished mosaic design course

A  group of about 20 students finished the lesson strand on Persian style mosaics in the beginning of may 2014. You can find some impressions of their activities here

View their endresults here

Result of pre-study

May 2014
May 2014

Article published

2014, March.

My article 'Learning Geometry by Designing Persian Mosaics' is published in issue nr. 100 (March 2014) of the Canadian journal 'For the Learning of Mathematics'.

At the flm-website you can find an Abstract.

Examples of basic patterns

Now available: a set of simple basic patterns (subgrids) to use to design new geometric patterns
Now available: a set of simple basic patterns (subgrids) to use to design new geometric patterns

New pattern design

Click on the picture below to find a series of patterns with octagons

Turn-angle 30 degrees
Turn-angle 30 degrees
Turn-angle 22.5 degrees.
Turn-angle 22.5 degrees.

Workshop 1&2 Feb. 2014

The workshop held on Texel was attended by 13 people in total. Among them: a furniture maker, a designer of lamps, quilters, painters and teachers. See the photo-impression of the workshop

Article in local newspaper Texel

This article (text and photo Pip Barnard) is about my fascination for Islamic geometrical ornamentation and how it can be used in (mathematics) education.

Article in Dutch newspaper

An article about the artwork by Maria Roelofsen and myself was published in the Dutch newspaper 'Reformatorisch Dagblad' on 30 december 2013. (Text Janneke van Reenen-Hak, Photo's Sjaak Verboom)

Publication in dutch magazine 'Experiment NL'

In this magazine on dutch Scientific research an article was published about my work. All those who have a subscription of 'Quest' received this magazine. Four pages with beautiful illustrations!

Work in progress, oktober 2013
Work in progress, oktober 2013

International workshop on Islamic geometric design Istanbul

At the Design Center of Istanbul a six-days congres was organized with lectures and workshops delivered by experts in this field. Incredibly inspiring!

http://www.igp-istanbul.com/eng/

Conference Isfahan, Iran

May 2013. A three day conference for mathematicians and artists on geometric Islamic patterns was held. Lots of inspiring workshops and lectures were delivered.

Workshop Leiden

Workshop for students, Institute for Studies of the Middle East, Leiden University, 27 march 2013

A participant of the workshop designs a geometric pattern
A participant of the workshop designs a geometric pattern

Contribution to piece of art

The use of patterns in a work of art by Maria Roelofsen (march 2013)
The use of patterns in a work of art by Maria Roelofsen (march 2013)

Lecture for maths teachers

During the conference for Maths teachers held december 18th 2012 at the Groningen University I gave a lecture about using islamic mosaics to teach geometry at all levels in secundary schools.

 

Article Published

June 2012.

In the review for Dutch mathematics teachers called 'Euclides' the article 'Designing Persian Mosaics in the Classroom. Students in the centre of a medieval design tradition' appeared (for the article in Dutch click here).

Maria completed 'the frog'