Een bijzondere tegelset

Deze tegelset heb ik bedacht om te gebruiken in een vraag van de Nationale Wetenschapsquiz 2014.

De vraag luidde: Wat kun je zeggen over de verhouding tussen de aantallen strikjestegels (links) en bootjestegels (rechts) wanneer een heel groot vlak zonder overlappingen en openingen bedekt wordt met deze tegeltjes?

Op de onderstaande foto zie je hoe in de uitzending wordt uitgelegd welke regelmaat er in het patroon zit.

Door de inkepingen en uitstulpingen kunnen de tegels namelijk maar op één manier een patroon vormen. Dit patroon heeft geen regelmaat zoals je meestal ziet, namelijk een regelmaat waarbij je, door het patroon 'over zichzelf' te verschuiven, je deze weer precies kan laten samenvallen met zichzelf. Dit heet translatie-symmetrie. Deze soort symmetrie is bij deze twee tegels onmogelijk.

Ondanks dat, is het toch mogelijk om een gigantisch groot vlak te bedekken met deze tegeltjes. Dit gaat door middel van de zogenaamde inflatie. Dit is een iteratieproces dat lijkt op het proces waarmee fractals worden gemaakt. De twee tegelvormen zijn namelijk in het groot te vormen met de oorspronkelijke tegels. Een grotere boot kun je samenstellen uit twee hele bootjes, zes halve bootjes en drie strikjes, zie hieronder links. Een grotere strik kun je maken met twee strikjes en zes halve bootjes. 

Het bijzondere is, dat je dit proces eindeloos kunt herhalen: Met de grotere boten en strikken kun je nóg grotere boten en strikken vormen, waarbij de halve bootjes keurig op elkaar aansluiten en zo hele bootjes opleveren. Met die nóg grotere boten en strikken kunnen nóg grotere gigaboten en strikken gelegd worden en met deze gigaboten en strikken nóg weer grotere megaboten enstrikken enzovoort enzovoort.


Met eenvoudige matrixrekening kun je in dit iteratieproces telkens de aantallen strikjes en bootjes berekenen.

In het schema hieronder zie je hoe de aantallen bij elke stap groter worden wanneer je begint met één strik en twee boten die tegen elkaar aan liggen.

 

Start

1e opdeling

Totaal na eerste opdeling

De 8 strikjes en 13 bootjes geven bij

2e opdeling

Totaal na tweede opdeling

De 55 strikjes en 89 bootjes geven bij

3e opdeling

Totaal na derde opdeling

1 strik

2 strikjes,

3 bootjes

2 + 6 =

8 strikjes

16 strikjes,

24 bootjes

16 + 39 =

55 strikjes

110 strikjes,

165 bootjes

110 + 267 =

377 strikjes

2 boten

6 strikjes,

10 bootjes

3 + 10 =

13 bootjes

39 strikjes,

65 bootjes

24 + 65 =

89 bootjes

267 strikjes,

445 bootjes

165 + 445 =

610 bootjes

 

Deze totalen komen ook in de rij van Fibonacci voor (elk volgend getal is de optelling van de twee voorafgaande getallen):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …

Van deze rij is bekend dat de verhouding tussen twee opeenvolgende getallen steeds dichter naar de Gulden Snede verhouding nadert (die verhouding is, afgerond op drie decimalen, 1 staat tot 1,618).

Het verband tussen semiperiodieke betegelingen en islamitische mozaïeken

Dit type semiperiodieke betegelingen (of quasi-periodieke betegelingen) is eind jaren ’60 en in de jaren ’70 van de vorige eeuw ontdekt door met name Raphael Robinson en Roger Penrose.

De strikjestegel en de bootjestegel zonder inkepingen en uitstulpingen werden wel al vanaf de 11e eeuw of zelfs eerder in Perzië gebruikt om prachtige mozaïeken te ontwerpen. Ze dienden als zogenaamde prototegels of ‘Gireh-tegels’ (Het Perzische woord Gireh of Girih betekent ‘knoop’). Kenmerkend voor deze tegels is, dat ze in het uiteindelijke mozaïek niet zichtbaar zijn. Maar ze geven wel de structuur van het gehele tableau aan.

In een artikel van Peter Lu en Paul Steinhardt (Science, feb 2007) wordt gesuggereerd dat men destijds ook bekend was met a-periodieke betegelingen. Hier is echter geen enkel bewijs voor. Het artikel van Lu en Steinhardt veroorzaakte een schandaal omdat het aperte onjuistheden bevatte en een misleidende verbinding legde tussen islamitische geometrische patronen en de Penrose-kites-and-darts-betegelingen. Ook verzuimden ze melding te maken van een reeds eerder gepubliceerd artikel van Emil Makovicky hierover.

Peter Cromwell corrigeerde Lu en Steinhardt in een artikel gepubliceerd in de Mathematical Intelligencer, 2008 .

 

Een opmerkelijke andere eigenschap van de twee tegelvormen is ook, dat een bootje een ϕ x zo grote oppervlakte heeft als een strikje. Dit betekent dat, wanneer je naar de oppervlakteverhouding van een betegeling van deze strikjes en bootjes kijkt, deze oppervlaktes zich verhouden als:

 1 : ϕ-kwadraat, dit is ongeveer  1 : 2,618.

Gebruik van de tegelset in de islamitische wereld

In de islamitische wereld zijn de tegels zelf niet meer zichtbaar op mozaïeken, maar wel de lijnen die op de tegels getekend worden:

Dit detail uit een tableau in Qom, Iran (foto Prof. J. Hogendijk), toont de vliegers en andere vormen die dan ontstaan. Ook de regelmatige tienhoek is gebruikt als prototegel. Op die tienhoek wordt dan een tienpuntige ster getekend (op de foto van het mozaïek uit Qom zijn die linksboven en rechtsonder voor een kwart zichtbaar).

Er zijn talloze andere voorbeelden bekend van prachtige ornamenten.

Recent Activities, News

16 Dec. 2017 Lecture

Lecture in Dutch. I will tell about a fascinating mosaic that was placed on the walls of the Imam Yahyah Mosque in Mosul, Irak. I will speak about the analysis I made, compare it with those of other geometers and show new designs based upon this specific pattern. More info here.

Official opening of Museum Gallery RAT (Recomposed Art Texel)

May 13 2017 we celebrated the opening of our new location Burgwal 20 Den Burg. Here you find artwork composed with beachcombed materials by Maria Roelofsen and my design studio for making new pattern compositions based upon the Islamic design tradition. For further information also look at www.museumgalerierat.nl

A new floral design with worksheet. Click on the picture to find more information about the Khatai Flower.

March 24th 2017

Heart cloud sun

Workshop in Amsterdam

21 august 2016 11.30-13.00

In the Tropenmuseum I delivered a workshop on the Islamic design tradition of geometric patterns in Dutch, further information here

New poem in Dutch:

Één Jaar

                                 May 6th 2016

Floral designs

A new subject is being developed and information will be available on this website: floral designs. I started today with the lotus flower. Click on the lotus below to visit the right tab.

                        24th of March 2016

Colour Plates available

Download my puzzle-/colour plates at this link of the Tropenmuseum Junior 

Short story 'Spiral Figures'

I wrote a short story in Dutch about a child who draws spiral figures at the beach

Students finished newly developed lesson strand on Islamic mosaic design

Click on the picture below and check the two slide shows on the 2015 results. 

The workshop I delivered in 2014 is online since Jan. 2015

here is the same workshop with translations into turkish

A miraculous set of tiles

I found a set of two tiles which can only form a semi-periodical pattern
I found a set of two tiles which can only form a semi-periodical pattern

Patchwork by Marijke Maris-Baan

Marijke Maris-Baan finished her design in patchwork, inspired by the winterworkshop held January 2014 on Texel
Marijke Maris-Baan finished her design in patchwork, inspired by the winterworkshop held January 2014 on Texel

Heptagon construction

A method to construct a near-regular heptagon now published on this site

Result of drawing competition

6 July 2014. The drawing cmpetition was won by José Bradamonte.

Students finished mosaic design course

A  group of about 20 students finished the lesson strand on Persian style mosaics in the beginning of may 2014. You can find some impressions of their activities here

View their endresults here

Result of pre-study

May 2014
May 2014

Article published

2014, March.

My article 'Learning Geometry by Designing Persian Mosaics' is published in issue nr. 100 (March 2014) of the Canadian journal 'For the Learning of Mathematics'.

At the flm-website you can find an Abstract.

Examples of basic patterns

Now available: a set of simple basic patterns (subgrids) to use to design new geometric patterns
Now available: a set of simple basic patterns (subgrids) to use to design new geometric patterns

New pattern design

Click on the picture below to find a series of patterns with octagons

Turn-angle 30 degrees
Turn-angle 30 degrees
Turn-angle 22.5 degrees.
Turn-angle 22.5 degrees.

Workshop 1&2 Feb. 2014

The workshop held on Texel was attended by 13 people in total. Among them: a furniture maker, a designer of lamps, quilters, painters and teachers. See the photo-impression of the workshop

Article in local newspaper Texel

This article (text and photo Pip Barnard) is about my fascination for Islamic geometrical ornamentation and how it can be used in (mathematics) education.

Article in Dutch newspaper

An article about the artwork by Maria Roelofsen and myself was published in the Dutch newspaper 'Reformatorisch Dagblad' on 30 december 2013. (Text Janneke van Reenen-Hak, Photo's Sjaak Verboom)

Publication in dutch magazine 'Experiment NL'

In this magazine on dutch Scientific research an article was published about my work. All those who have a subscription of 'Quest' received this magazine. Four pages with beautiful illustrations!

Work in progress, oktober 2013
Work in progress, oktober 2013

International workshop on Islamic geometric design Istanbul

At the Design Center of Istanbul a six-days congres was organized with lectures and workshops delivered by experts in this field. Incredibly inspiring!

http://www.igp-istanbul.com/eng/

Conference Isfahan, Iran

May 2013. A three day conference for mathematicians and artists on geometric Islamic patterns was held. Lots of inspiring workshops and lectures were delivered.

Workshop Leiden

Workshop for students, Institute for Studies of the Middle East, Leiden University, 27 march 2013

A participant of the workshop designs a geometric pattern
A participant of the workshop designs a geometric pattern

Contribution to piece of art

The use of patterns in a work of art by Maria Roelofsen (march 2013)
The use of patterns in a work of art by Maria Roelofsen (march 2013)

Lecture for maths teachers

During the conference for Maths teachers held december 18th 2012 at the Groningen University I gave a lecture about using islamic mosaics to teach geometry at all levels in secundary schools.

 

Article Published

June 2012.

In the review for Dutch mathematics teachers called 'Euclides' the article 'Designing Persian Mosaics in the Classroom. Students in the centre of a medieval design tradition' appeared (for the article in Dutch click here).

Maria completed 'the frog'