Constructies met passer en liniaal

EEN EEUWENOUDE TRADITIE, HET TEKENEN VAN REGELMATIGE VEELHOEKEN

Traditioneel worden de Islamitische patronen met alleen passer en liniaal geconstrueerd. Omdat regelmatige veelhoeken een belangrijke rol spelen bij Islamitische patronen is het dan ook een uitdaging om deze met enkel passer en liniaal te kunnen construeren.

Bij veel n-hoeken (n=3,4,5, enzovoort) is dit niet zo heel moeilijk. De makkelijkste zijn wel de gelijkzijdige driehoek, de regelmatige 6-hoek en 4-hoek. De regelmatige 5-hoek is iets lastiger. Hiervoor is de gulden snede verhouding nodig en de constructie daarvan vereist enkele stappen.

 

DE HEPTAGON

Het tekenen van een regelmatige 7-hoek (heptagon) is nòg moeilijker. Het is zelfs bewezen dat een exacte constructie met enkel passer en liniaal onmogelijk is (in 1837 door Laurent Wantzel). Er bestaan wel methodes die behoorlijk nauwkeurig zijn, de meest nauwkeurige en ook vrij eenvoudige die ik ken is bedacht door John Michell in 2009. De foutenmarge is slechts 0,04 graden!

 

Een constructie die ik zelf vond is iets minder precies en heeft een fout van 0,1 graden. Dat is zo klein dat het nog steeds ruim voldoende is om te gebruiken bij het handmatig ontwerpen van een patroon. Bijkomend voordeel is dat deze constructie met een zogenaamde 'vastgeroeste passer' kan worden voltooid. Dat wil zeggen dat je met de passer alleen cirkels van één bepaalde grootte hoeft te tekenen. Dat geeft meestal een nauwkeuriger resultaat.

Hierboven zie je hoe dat gebeurt. Bij deze constructie wordt eerst een hoek van 60 graden getekend (hoek AMC) die je nodig hebt om een regelmatige 6-hoek te tekenen. Daarna wordt een hoek van 45 graden gemaakt (hoek AMH), nodig voor een regelmatige 8-hoek. Voor een regelmatige 7-hoek moet je hier tussenin zitten, maar niet in het midden! Dat zou je misschien verwachten, maar klopt niet. Dat heeft te maken met het feit dat 1/7 niet midden tussen 1/6 en 1/8 ligt. Door de lijnen BC en IH te snijden krijg je een hoek AMJ van 51,33 graden die heel dicht ligt bij 1/7-de van 360 (ongeveer 51,4286) graden ligt.

Door nu J te spiegelen in AB en vervolgens deellijnen te construeren kun je met dezelfde passeropening de rest van de zevenhoek tekenen.

Merk op dat je nu meteen ook een methode hebt om een regelmatige 14-hoek te construeren!

 

Bovenstaande tekening kun je hieronder downloaden.

heptagonconstructie met een passer met vaste opening.
Heptagon rustycompass construction.jpg
JPEG-bestand 1.4 MB

Recent Activities, News

16 Dec. 2017 Lecture

Lecture in Dutch. I will tell about a fascinating mosaic that was placed on the walls of the Imam Yahyah Mosque in Mosul, Irak. I will speak about the analysis I made, compare it with those of other geometers and show new designs based upon this specific pattern. More info here.

Official opening of Museum Gallery RAT (Recomposed Art Texel)

May 13 2017 we celebrated the opening of our new location Burgwal 20 Den Burg. Here you find artwork composed with beachcombed materials by Maria Roelofsen and my design studio for making new pattern compositions based upon the Islamic design tradition. For further information also look at www.museumgalerierat.nl

A new floral design with worksheet. Click on the picture to find more information about the Khatai Flower.

March 24th 2017

Heart cloud sun

Workshop in Amsterdam

21 august 2016 11.30-13.00

In the Tropenmuseum I delivered a workshop on the Islamic design tradition of geometric patterns in Dutch, further information here

New poem in Dutch:

Één Jaar

                                 May 6th 2016

Floral designs

A new subject is being developed and information will be available on this website: floral designs. I started today with the lotus flower. Click on the lotus below to visit the right tab.

                        24th of March 2016

Colour Plates available

Download my puzzle-/colour plates at this link of the Tropenmuseum Junior 

Short story 'Spiral Figures'

I wrote a short story in Dutch about a child who draws spiral figures at the beach

Students finished newly developed lesson strand on Islamic mosaic design

Click on the picture below and check the two slide shows on the 2015 results. 

The workshop I delivered in 2014 is online since Jan. 2015

here is the same workshop with translations into turkish

A miraculous set of tiles

I found a set of two tiles which can only form a semi-periodical pattern
I found a set of two tiles which can only form a semi-periodical pattern

Patchwork by Marijke Maris-Baan

Marijke Maris-Baan finished her design in patchwork, inspired by the winterworkshop held January 2014 on Texel
Marijke Maris-Baan finished her design in patchwork, inspired by the winterworkshop held January 2014 on Texel

Heptagon construction

A method to construct a near-regular heptagon now published on this site

Result of drawing competition

6 July 2014. The drawing cmpetition was won by José Bradamonte.

Students finished mosaic design course

A  group of about 20 students finished the lesson strand on Persian style mosaics in the beginning of may 2014. You can find some impressions of their activities here

View their endresults here

Result of pre-study

May 2014
May 2014

Article published

2014, March.

My article 'Learning Geometry by Designing Persian Mosaics' is published in issue nr. 100 (March 2014) of the Canadian journal 'For the Learning of Mathematics'.

At the flm-website you can find an Abstract.

Examples of basic patterns

Now available: a set of simple basic patterns (subgrids) to use to design new geometric patterns
Now available: a set of simple basic patterns (subgrids) to use to design new geometric patterns

New pattern design

Click on the picture below to find a series of patterns with octagons

Turn-angle 30 degrees
Turn-angle 30 degrees
Turn-angle 22.5 degrees.
Turn-angle 22.5 degrees.

Workshop 1&2 Feb. 2014

The workshop held on Texel was attended by 13 people in total. Among them: a furniture maker, a designer of lamps, quilters, painters and teachers. See the photo-impression of the workshop

Article in local newspaper Texel

This article (text and photo Pip Barnard) is about my fascination for Islamic geometrical ornamentation and how it can be used in (mathematics) education.

Article in Dutch newspaper

An article about the artwork by Maria Roelofsen and myself was published in the Dutch newspaper 'Reformatorisch Dagblad' on 30 december 2013. (Text Janneke van Reenen-Hak, Photo's Sjaak Verboom)

Publication in dutch magazine 'Experiment NL'

In this magazine on dutch Scientific research an article was published about my work. All those who have a subscription of 'Quest' received this magazine. Four pages with beautiful illustrations!

Work in progress, oktober 2013
Work in progress, oktober 2013

International workshop on Islamic geometric design Istanbul

At the Design Center of Istanbul a six-days congres was organized with lectures and workshops delivered by experts in this field. Incredibly inspiring!

http://www.igp-istanbul.com/eng/

Conference Isfahan, Iran

May 2013. A three day conference for mathematicians and artists on geometric Islamic patterns was held. Lots of inspiring workshops and lectures were delivered.

Workshop Leiden

Workshop for students, Institute for Studies of the Middle East, Leiden University, 27 march 2013

A participant of the workshop designs a geometric pattern
A participant of the workshop designs a geometric pattern

Contribution to piece of art

The use of patterns in a work of art by Maria Roelofsen (march 2013)
The use of patterns in a work of art by Maria Roelofsen (march 2013)

Lecture for maths teachers

During the conference for Maths teachers held december 18th 2012 at the Groningen University I gave a lecture about using islamic mosaics to teach geometry at all levels in secundary schools.

 

Article Published

June 2012.

In the review for Dutch mathematics teachers called 'Euclides' the article 'Designing Persian Mosaics in the Classroom. Students in the centre of a medieval design tradition' appeared (for the article in Dutch click here).

Maria completed 'the frog'